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LA RÈGLE DE TROIS

Apprendre la règle de trois aux enfantsJadis, c'était le "pont aux ânes" des écoliers. Il faut croire que les ânes refusaient de passer certains ponts,  peut-être à cause du vide des deux côtés du pont, ou à cause du bruit du torrent. De même, certains élèves ne parvenaient pas à apprendre la Règle de trois.

Pourquoi « de trois » ? Parce qu'à partir de 3 nombres, il faut en trouver un quatrième.
Pourquoi « règle » ? Parce qu'on demandait aux élèves d'apprendre par coeur la façon de résoudre le problème posé.
De nos jours, la règle repose sur un « tableau de proportionnalité, » réduit à 2 lignes et de 2 colonnes : dans trois des quatre cases on place un nombre, et dans la quatrième un point d'interrogation.
On doit savoir (par coeur) que les produits des nombres placés en diagonale sont égaux ; alors le calcul est évident…
... SAUF si on ne sait plus très bien dans quelles cases il faut placer les 3 nombres qui figurent dans l'énoncé. Si l'on se trompe, on calculera avec précision un résultat faux ! (Exemple vécu avec un bon élève de Terminale armé d'une calculette).

Certes, si l'on raisonne, on saura placer correctement les 3 nombres. Mais, si l'on raisonne, on trouvera directement le résultat : la règle de trois, le tableau de proportionnalité, ne servent à rien (le tableau de proportionnalité reste toutefois un bon moyen pédagogique).

Les mathématiques ne sont pas un répertoire de règles : elles sont basées sur le raisonnement, et les raisonnements s'expriment en français courant.

EXEMPLE. Question posée à Xavier Darcos au cours d'une émission télévisée :
«4 stylos valent 4,42 euros. Combien valent 14 stylos ? ». Dans ce contexte, cette question implique un calcul mental.

Une solution :

a) Ordre de grandeur du résultat : quatre stylos valent environ 4 euros, donc un stylo vaut, en ordre de grandeur, 1 euro. Donc l'ordre de grandeur du résultat est de 14 euros.

b) Raisonnement : " qu'est-ce qu'on recherche ? "  Réponse : un prix.
" Que sait-on du prix ? "  Réponse : que 4 stylos valent 4,42 euros. Par conséquent, on peut connaître le prix d'un stylo en divisant 4,42 euros par 4. Il suffit ensuite de multiplier le prix d'un stylo par 14.

c) Calcul. Un collégien ou un adulte peut utiliser une calculette, instrument qui devrait être proscrit du primaire ; les élèves feraient donc une division posée suivie d'une multiplication posée. Ici, les nombres sont petits et un calcul mental s'impose.
Il y a en général plusieurs façons de conduire un calcul mental. Ce qui suit n'est que l'un des modes de calcul, inspiré par l'observation que le chiffre 4 se trouve deux fois dans le prix de 4 stylos

4,42 euros c'est 4 euros plus 40 centimes plus 2 centimes.
Division de  chaque terme par 4 : 1 euro plus 10 centimes plus 1 demi centime.
Multiplication par 14 : 14 euros plus 140 centimes (soit 1,40 euro) plus 14 demi centimes (soit 7 centimes).
Le résultat est 14 plus 1,40,  plus 7 centimes  ou  15,47 euros.

d) Vérification : le résultat est bien du même ordre de grandeur que 14 euros.

Nota. Pour le calcul mental d'une opération arithmétique, il faut chercher plus simple que la reproduction terme à terme d'une opération posée. La décomposition décimale  (234 = 2 centaines plus 3 dizaines plus 4 unités) offre de nombreuses possibilités de calcul.

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